毫無疑問，威廉·羅恩·漢密爾頓是愛爾蘭歷史上最偉大的科學(xué)家日前，漢密爾頓出生在愛爾蘭的都柏林他的叔叔是一位有成就的語言學(xué)家——他能脫口而出希臘語，拉丁語，希伯來語，梵語，閃米特語，巴利語和各種方言在叔叔的影響下，漢密爾頓3歲的時(shí)候英語就很好了他4歲時(shí)就是一名優(yōu)秀的地理學(xué)家，5歲能閱讀和翻譯拉丁文，希臘文和希伯來文，8歲時(shí)，他掌握了意大利語和法語他也能用拉丁語即興創(chuàng)作最后，他在不到10歲的時(shí)候就開始學(xué)習(xí)阿拉伯語和梵語，這為他在東方語言方面非凡的學(xué)術(shù)成就打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)漢密爾頓在13歲時(shí)成為歷史上最令人震驚的語言怪物之一
漢密爾頓12歲時(shí)，在倫敦威斯敏斯特學(xué)校認(rèn)識了從事計(jì)算的美國孩子科爾伯恩科爾伯恩在科學(xué)上給了漢密爾頓一些啟示17歲時(shí)，漢密爾頓通過積分學(xué)掌握了數(shù)學(xué)，并獲得了足夠的數(shù)學(xué)天文學(xué)知識，這使他能夠計(jì)算日食和月食他研究了牛頓和拉格朗日的著作所有這些都是他的業(yè)余消遣
漢密爾頓提到的這個(gè)發(fā)現(xiàn)，可能是他第一個(gè)偉大研究的開始——光學(xué)中的射線系統(tǒng)在此之前，他已經(jīng)在拉普拉斯試圖證明平行四邊形力定律的過程中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)錯(cuò)誤
漢密爾頓進(jìn)大學(xué)之前從未上過學(xué)他所有的初級訓(xùn)練都來自于他的叔叔和自學(xué)
在光學(xué)方面，我有一個(gè)非常奇怪的發(fā)現(xiàn)——至少我是這樣認(rèn)為的...
這里指的是特征函數(shù)，它標(biāo)志著漢密爾頓堪比歷史上任何一位真正的年輕數(shù)學(xué)家日前，年輕的漢密爾頓在100名申請者中輕松獲得第一名，進(jìn)入三一學(xué)院他很快成為名人當(dāng)他還是一名大學(xué)生時(shí)，他在古典文學(xué)和數(shù)學(xué)方面的杰出才能引起了英格蘭，蘇格蘭和愛爾蘭學(xué)術(shù)界人士的好奇有人甚至宣稱第二個(gè)牛頓已經(jīng)出現(xiàn)最重要的是，他完成了關(guān)于射線系統(tǒng)的標(biāo)志性論文第一部分的初稿
這個(gè)年輕人，我不是說他會成為他那一代的第一數(shù)學(xué)家，而是說他是他那一代的第一數(shù)學(xué)家。
漢密爾頓在三一學(xué)院的大學(xué)生涯的結(jié)束比它的開始更令人驚訝布林克利博士辭去了天文學(xué)教授的職務(wù)按照英國通常的習(xí)俗，空缺的教授職位被登廣告，包括后來的皇家天文學(xué)家喬治·比德爾·艾里在內(nèi)的幾位著名天文學(xué)家參加了競爭理事會經(jīng)過討論，放棄了所有申請人，一致推選當(dāng)時(shí)22歲的大學(xué)生漢密爾頓為教授，但漢密爾頓沒有申請
他開始做得很好漢密爾頓明智地把主要精力投入到數(shù)學(xué)上23歲時(shí)，他發(fā)表了自己作為17歲孩子所做的那些奇怪的發(fā)現(xiàn)的完整形式，即射線系統(tǒng)理論的第一部分，這是一部偉大的杰作它對于光學(xué)就像拉格朗日的分析力學(xué)對于力學(xué)一樣它被擴(kuò)展到漢密爾頓自己手中的動力學(xué)，這一基本學(xué)科以其可能是最終和完美的形式表達(dá)出來
在光學(xué)中，一束光被認(rèn)為是光傳播的直線或折線或曲線，光線系統(tǒng)被認(rèn)為是這些線的集合，這些線通過一些共同的聯(lián)系，起源或產(chǎn)生的一些相似性，總之，一些光學(xué)統(tǒng)一性而結(jié)合在一起因此，從發(fā)光點(diǎn)發(fā)出的光構(gòu)成了一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)當(dāng)它們被反射回鏡子時(shí)，就形成了另一個(gè)光學(xué)系統(tǒng)研究光線在一個(gè)我們知道其光學(xué)起源和歷史的系統(tǒng)中的幾何關(guān)系，探索它們是如何配置的，它們是如何發(fā)散或會聚或變成平行的，它們是如何相切或切割成什么樣的曲面或曲線，它們?nèi)绾谓M合成部分光束，它們?nèi)绾未_定每一條特定的光線并將其與其他光線區(qū)分開來，這些都是研究光線系統(tǒng)所必需的
為了推廣這類系統(tǒng)的研究，使其可以在不改變程序的情況下過渡到其他系統(tǒng)，同時(shí)為了確定一般的規(guī)則和一些一般的方法，通過這些規(guī)則和方法可以將這些孤立的光學(xué)器件組合和協(xié)調(diào)起來，有必要構(gòu)建射線系統(tǒng)理論最后，為了利用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的力量做到這一點(diǎn)，用函數(shù)代替圖形，用公式代替圖表，需要構(gòu)建這些系統(tǒng)的代數(shù)理論，即代數(shù)在光學(xué)中的應(yīng)用
要構(gòu)造這樣一個(gè)應(yīng)用，就必須使用笛卡爾將代數(shù)應(yīng)用于幾何所采用的方法在一般的科學(xué)進(jìn)步中，空間的三維已經(jīng)獲得了它們的三個(gè)代數(shù)等價(jià)體，以及適當(dāng)?shù)母拍詈头栠@樣，把平面或曲面上任意一點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)之間的關(guān)系作為平面或曲面的方程，曲面就變成代數(shù)定義的了，并推所有點(diǎn)，那么，一條直線或一條曲線就可以用同樣的方法指定兩個(gè)這樣的關(guān)系來表示這樣的關(guān)系對應(yīng)兩個(gè)曲面，直線可以看作它們的交線這樣，通過對相應(yīng)的三個(gè)變量方程的一般研究，以及對曲面和曲線的一般研究，就有可能找到所有的共同性質(zhì)，即使每一個(gè)幾何問題都不能馬上解決，但它們至少可以用代數(shù)來表示，所以代數(shù)中的每一個(gè)改進(jìn)或發(fā)現(xiàn)都可以在這個(gè)幾何中得到應(yīng)用或解釋
空間和時(shí)間的科學(xué)是緊密地交織在一起，密不可分的從此，提高一門學(xué)科就能提高另一門學(xué)科畫一條曲線的切線的問題導(dǎo)致了流數(shù)或微分學(xué)的發(fā)現(xiàn)，那些求長求積的問題導(dǎo)致它的反演，也就是積分學(xué)，曲面和曲率的研究需要偏微分的微積分，等周問題導(dǎo)致變分理論的形成相反，代數(shù)科學(xué)中所有這些偉大的步驟都直接應(yīng)用于幾何，這導(dǎo)致了點(diǎn)或線或面之間新關(guān)系的發(fā)現(xiàn)所以，即使這種新方法的應(yīng)用不是那么多樣和重要，但把它當(dāng)作一種方法來思考，并從中獲得高度智慧，仍然會有樂趣
這種坐標(biāo)代數(shù)方法在光學(xué)系統(tǒng)中的第一次重要應(yīng)用是由法國工程師馬盧完成的，他是拿破侖在埃及軍隊(duì)中的一名軍官他被認(rèn)為是物理光學(xué)史上反射光偏振的發(fā)現(xiàn)者1807年，魯向法蘭西學(xué)院提交了一部深?yuàn)W的數(shù)學(xué)著作，就屬于上面提到的那種類型，書名是《光學(xué)專論》那篇論文中使用的方法可以描述如下:任何光學(xué)系統(tǒng)中的直射光的方向被認(rèn)為取決于光上特定點(diǎn)的位置，它遵循表征特定光學(xué)系統(tǒng)并將其與其他系統(tǒng)區(qū)分開來的某種規(guī)律，這個(gè)規(guī)律可以通過確定這條射線上任意一點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)的表達(dá)式，即任意一點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)，用代數(shù)的方法表示出來
因此，魯采用了代表這三種功能的一般符號，通過非常復(fù)雜但對稱的計(jì)算，得出了幾個(gè)重要的一般結(jié)論這些結(jié)論中的許多，還有許多其他的，后來我都想到了那時(shí)候我還不知道馬陸做過什么我開始嘗試以幾乎相同的方式將代數(shù)應(yīng)用于光學(xué)但是我的研究很快讓我使用了一種非常不同的方法，這種方法更適合光學(xué)系統(tǒng)的研究，而不是Malu的方法由于不需要用到上面提到的三個(gè)函數(shù)，或者至少是它們的兩個(gè)比值，所以這種方法只用到了一個(gè)函數(shù)，我稱之為特征函數(shù)，或者主函數(shù)就這樣，他通過建立一條光線的兩個(gè)方程來進(jìn)行推理另一方面，我建立并使用了一個(gè)系統(tǒng)的方程
從任何一個(gè)第一點(diǎn)到任何一個(gè)第二點(diǎn)，光都會消耗一定的量——在一個(gè)物理理論中，是作用的量，在另一個(gè)理論中，是時(shí)間，如果路徑的兩端保持不變，那么光就走實(shí)際路徑，與它走的任何其他路徑相比，實(shí)際路徑消耗的能量最少，用專業(yè)的語言來說就是變成零我的數(shù)學(xué)方法的新思想是，首先，把這個(gè)量看作這些端點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)根據(jù)我所說的可變作用量定律，當(dāng)坐標(biāo)變化時(shí)，作用量也變化，其次，所有對光的光學(xué)系統(tǒng)的研究都簡化為對這個(gè)函數(shù)的研究:數(shù)學(xué)光學(xué)的簡化是從一個(gè)全新的角度給出的，類似于笛卡爾給出的代數(shù)應(yīng)用于幾何的簡化
漢密爾頓的解釋不需要補(bǔ)充什么第二遍閱讀整個(gè)摘要可能會更有收獲在這個(gè)關(guān)于射線系統(tǒng)的偉大工作中，漢密爾頓甚至建造了一些比他知道的更好的東西在上述摘要寫出來差不多100年后，發(fā)現(xiàn)哈密頓引入光學(xué)的方法，正是與現(xiàn)代量子論和原子結(jié)構(gòu)理論相關(guān)的波動力學(xué)所需要的方法回想一下牛頓對光發(fā)射或粒子理論的偏愛，而惠更斯則試圖用光的波動理論來解釋光的現(xiàn)象這兩種觀點(diǎn)在現(xiàn)代量子論中是結(jié)合在一起的，在純數(shù)學(xué)意義上是協(xié)調(diào)的現(xiàn)代量子理論形成于1925年1843年，28歲的漢密爾頓實(shí)現(xiàn)了把光學(xué)原理擴(kuò)展到整個(gè)動力學(xué)的雄心
哈密爾頓對光學(xué)中圓錐折射的預(yù)言是定性和定量的基于他的光線系統(tǒng)理論，他從數(shù)學(xué)上預(yù)言了一個(gè)完全出乎意料的現(xiàn)象將會在雙軸晶體中的光折射中被發(fā)現(xiàn)當(dāng)他在思考他的論文《光》第三期增刊時(shí)，一個(gè)發(fā)現(xiàn)讓他自己都大吃一驚
在某些情況下，在雙軸晶體中，對應(yīng)于單個(gè)入射光線或由單個(gè)入射光線產(chǎn)生，應(yīng)該有多于兩個(gè)，多于三個(gè)以及多于任何有限數(shù)量的折射光線，但是有無限數(shù)量的折射光線或折射光線錐體，在其他情況下，在這樣的晶體中，一條光線會產(chǎn)生無限多條排列在另一個(gè)圓錐體中的光線因此，他從理論上預(yù)見了光的兩個(gè)新定律，并命名為內(nèi)錐折射和外錐折射
這一預(yù)言，以及漢弗萊·勞埃德的實(shí)驗(yàn)對它的證實(shí)，使?jié)h密爾頓得到了無限的贊譽(yù)根據(jù)一些人的看法，這一驚人的成功是漢密爾頓職業(yè)生涯的頂峰，在這部關(guān)于光學(xué)和動力學(xué)的巨著之后，漢密爾頓衰落了還有人認(rèn)為漢密爾頓最偉大的工作還沒有完成——這就是四元數(shù)理論漢密爾頓自己也認(rèn)為這是他的杰作，是杰作讓他永垂不朽
四元數(shù)的歷史太長，這里無法全面介紹，甚至高斯在1817年的預(yù)言也不是這個(gè)領(lǐng)域的開端，歐拉以一個(gè)孤立的結(jié)果領(lǐng)先于高斯，這個(gè)結(jié)果可以用四元數(shù)最簡單地解釋四元數(shù)的起源可以追溯到更遠(yuǎn)，因?yàn)榈隆つΩ?jīng)半開玩笑地提議為漢密爾頓追溯他們從古印度到維多利亞女王的歷史可是，我們只需要在這里看一下這個(gè)發(fā)現(xiàn)的主要部分
19世紀(jì)上半葉，英國學(xué)派的代數(shù)學(xué)家在自己的基礎(chǔ)上建立了普通代數(shù)他們謹(jǐn)慎而嚴(yán)格地預(yù)見了發(fā)展任何數(shù)學(xué)分支的當(dāng)前步驟，并在公設(shè)基礎(chǔ)上建立了代數(shù)在此之前，當(dāng)所有的代數(shù)方程都被假設(shè)有根時(shí)，進(jìn)入數(shù)學(xué)的各種數(shù)——分?jǐn)?shù)，負(fù)數(shù)，無理數(shù)——都被允許在與普通正整數(shù)相同的基礎(chǔ)上工作習(xí)慣使然，普通正整數(shù)如此過時(shí)，以至于所有數(shù)學(xué)家都認(rèn)為它們是自然的將一個(gè)系統(tǒng)建立在數(shù)學(xué)符號的盲目和形式技巧上，并天真地相信它的自洽性，這似乎有點(diǎn)愚蠢
這種輕信在形式永恒原則中達(dá)到了頂峰，這實(shí)際上意味著對一類數(shù)——比如正整數(shù)——產(chǎn)生一致結(jié)果的一套規(guī)則，在應(yīng)用于任何其他類型的數(shù)——比如虛數(shù)——時(shí)，將繼續(xù)產(chǎn)生一致性，即使結(jié)果還沒有得到清楚的解釋相信無意義符號的完美，往往會導(dǎo)致荒謬
在這一點(diǎn)上，必須記住，代數(shù)只討論有限的過程當(dāng)無窮過程進(jìn)入的時(shí)候，比如無窮級數(shù)求和的時(shí)候，我們就超越了代數(shù)，進(jìn)入了另一個(gè)領(lǐng)域之所以強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，是因?yàn)橥ǔ５某醯日n本中標(biāo)注的代數(shù)包含了很多不是現(xiàn)代意義上的代數(shù)的東西——比如無窮幾何級數(shù)
漢密爾頓在創(chuàng)造四元數(shù)時(shí)所做的事情的本質(zhì)在一組普通代數(shù)的公設(shè)的上下文中更清楚地顯示出來。
域F是由集合S和元素A，B，C，...以及兩種運(yùn)算，稱為加法和乘法，可以在S的任意兩個(gè)元素A和B上實(shí)現(xiàn)，按此順序產(chǎn)生S唯一的定元素。
使假設(shè)I—v滿足為簡單起見，我們用a+b和ab代替上述結(jié)果，分別稱之為A和B的和與積另外，s的元素稱為f的元素
I .若A和B是F的任意兩個(gè)元素，則a+b和ab是F僅有的定元素，且
二。如果A，B，C是F的任意三個(gè)元素，那么
ⅲ.F中有兩個(gè)不同的元素，標(biāo)記為0和1，這樣如果A是F的任意元素，那么a+0=a，A1 = A。
ⅳ無論元素A of F是什么，F(xiàn)中總有一個(gè)元素X，使a+x=0。
動詞 不管f的元素A是什么，f中總有一個(gè)元素Y，所以ay=1。
整個(gè)一般代數(shù)都是從這些簡單的公設(shè)中推導(dǎo)出來的這樣的一套公設(shè)可以看作是經(jīng)驗(yàn)的濃縮許多世紀(jì)以來，人們根據(jù)算術(shù)定律使用數(shù)學(xué)并得到有用的結(jié)果——他們是憑經(jīng)驗(yàn)得到的這種實(shí)踐啟發(fā)了這些精確公設(shè)中包含的大部分定律，但一旦他們理解了經(jīng)驗(yàn)的啟發(fā)，經(jīng)驗(yàn)提供的解釋就被有意地隱藏或遺忘了由公設(shè)定義的系統(tǒng)是由普通邏輯加上數(shù)學(xué)智慧在自身價(jià)值上抽象發(fā)展出來的
如果像往常一樣，I表示根號—1，那么一個(gè)復(fù)數(shù)就是α+bi類型的數(shù)，其中a和b是實(shí)數(shù)漢密爾頓不把α+bi看作數(shù)，而是把它想象成一對有序的數(shù)，他記為這種處理復(fù)數(shù)的新方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，偶數(shù)的和與積的定義被看作是一個(gè)域中和與積的一般抽象定義的例子因此，如果證明了由定義域的公設(shè)定義的系統(tǒng)的一致性，則無需進(jìn)一步證明，就可以得出關(guān)于復(fù)數(shù)以及它們組合所依據(jù)的共同規(guī)則的類似結(jié)論漢密爾頓認(rèn)為復(fù)數(shù)是偶數(shù)，在等理論中，給出和與積的定義就足夠了
與的和為，是定義域中的0，1對應(yīng)于這里的，有了這些定義，很容易證明哈密爾頓數(shù)對滿足為一個(gè)域陳述的所有公設(shè)，但是它們也符合復(fù)數(shù)運(yùn)算的形式規(guī)則所以a+bi，c+di分別對應(yīng)and ，它們的形式and是+I ，對應(yīng)偶數(shù)再者，a+bi，c+di的形式積產(chǎn)生+i，對應(yīng)偶數(shù)
漢密爾頓用數(shù)對處理復(fù)數(shù)后，試圖把他的想法推廣到三倍或四倍的數(shù)，否則，這樣的工作就沒有意義了漢密爾頓的目的是發(fā)明一種代數(shù)，這種代數(shù)對三維空間中的旋轉(zhuǎn)的作用與復(fù)數(shù)或其數(shù)對對二維空間中的旋轉(zhuǎn)的作用相同，兩者都像初等幾何中的歐幾里得空間現(xiàn)在可以認(rèn)為，復(fù)數(shù)a+bi代表一個(gè)向量，也就是既有長度又有方向的線段
可是，在試圖將向量在三維空間中的行為符號化時(shí)，為了保持那些在物理中，尤其是在旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中使用的向量的性質(zhì)，漢密爾頓被一個(gè)意想不到的困難阻擋了很多年很長一段時(shí)間，他甚至都沒有猜出這個(gè)困難的真實(shí)性質(zhì)
漢密爾頓反對代數(shù)的純粹抽象和假定的系統(tǒng)闡述他試圖在一些更真實(shí)的基礎(chǔ)上建立代數(shù)對于這種無意義的原因，他利用了康德被非歐幾何的創(chuàng)立所反駁的錯(cuò)誤觀點(diǎn)，即他把空間看作是感官直觀的純粹形式的確，我好像不知道非歐幾何的哈密頓量遵循康德的信念時(shí)間和空間是知識的兩個(gè)源泉，各種先驗(yàn)的綜合知識都可以從中汲取在這方面，就我們對空間及其各種關(guān)系的理解而言，純數(shù)學(xué)提供了一個(gè)極好的例子因?yàn)樗鼈兪羌兇獾母泄僦庇^，所以反映了綜合命題的先驗(yàn)可能性
當(dāng)然，今天任何一個(gè)不是完全無知的數(shù)學(xué)家都知道康德的數(shù)學(xué)概念是錯(cuò)誤的，但是在19世紀(jì)40年代，當(dāng)漢密爾頓在走向四元數(shù)的路上時(shí)，康德的數(shù)學(xué)哲學(xué)對于那些從未聽說過羅巴切夫斯基的人來說仍然是有意義的漢密爾頓用一個(gè)看似糟糕的數(shù)學(xué)雙關(guān)語將康德的理論應(yīng)用于代數(shù)，并得出一個(gè)奇怪的結(jié)論:因?yàn)閹缀问强臻g的科學(xué)，因?yàn)闀r(shí)間和空間是直覺的純感覺形式，所以數(shù)學(xué)的其余部分一定屬于時(shí)間，他浪費(fèi)了大部分時(shí)間來錘打一個(gè)奇怪的理論，即代數(shù)是純時(shí)間的科學(xué)
為了理解這個(gè)問題的難度，需要牢記的是，普通復(fù)數(shù)a+bi已經(jīng)通過平面上的旋轉(zhuǎn)給出了簡單的解釋，并且復(fù)數(shù)服從普通代數(shù)的所有規(guī)則，尤其是乘法交換率:如果A和B是任意復(fù)數(shù)，那么A×B=B×A，不管A和B是用代數(shù)還是平面上的旋轉(zhuǎn)來解釋然后，似乎很自然地預(yù)測，同樣的交換律將適用于在三維空間中表示旋轉(zhuǎn)的復(fù)數(shù)的推廣
漢密爾頓的偉大發(fā)現(xiàn)是一個(gè)代數(shù)，一種三維空間中旋轉(zhuǎn)的自然代數(shù)，其中的交換律不成立在這個(gè)四元數(shù)的哈密頓代數(shù)中，有一個(gè)乘法，其中A×B不等于B×A，而是等于負(fù)B×A，即A× B =—B× A
我們可以拋棄乘法交換定律，構(gòu)造一個(gè)兼容的，實(shí)用的代數(shù)系統(tǒng)，這是一流的發(fā)現(xiàn)，可能堪比非歐幾何的形成有一天，漢密爾頓和妻子外出散步，走到一座橋上時(shí)，他突然有一種醍醐灌頂?shù)母杏X，以至于把新代數(shù)的基本公式刻在了橋面上他的偉大發(fā)現(xiàn)直到今天仍然指導(dǎo)著代數(shù)到其他代數(shù)事實(shí)上，數(shù)學(xué)家們追隨漢密爾頓的腳步，通過否定一個(gè)或多個(gè)場的公設(shè)并發(fā)展其結(jié)果，隨意創(chuàng)造了各種代數(shù)其中一些代數(shù)非常有用，漢密爾頓的偉大發(fā)明也包含在包含許多代數(shù)的通論中
根據(jù)哈密爾頓的四元數(shù)，出現(xiàn)了近兩代物理學(xué)家喜歡的各種矢量分析今天，所有這些東西，包括四元數(shù)，只要和物理應(yīng)用有關(guān)的，都被1915年和廣義相對論一起流行起來的極其簡單和普遍的張量分析擱置了
最后，漢密爾頓最深的悲劇在于，他固執(zhí)地認(rèn)為四元數(shù)是解決物理宇宙數(shù)學(xué)的關(guān)鍵歷史證明，他可悲地欺騙了自己沒有一個(gè)偉大的數(shù)學(xué)家如此大錯(cuò)特錯(cuò)
漢密爾頓生命的最后22年幾乎完全致力于四元數(shù)的詳細(xì)闡述，包括它們在動力學(xué)，天文學(xué)和光的波動理論中的應(yīng)用他于1865年9月2日死于痛風(fēng)，享年61歲
一個(gè)熱愛勞動和真理的人我希望我的墓志銘也是如此
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