埃菲爾在1889年建造著名的埃菲爾鐵塔時，挑選了72位19世紀的法國著名科學家，并將他們的名字刻在塔上，以示崇敬最引人注目的是拉格朗日，拉普拉斯和勒讓德你也會找到納維的名字納維德是當時著名的工程師，曾跟隨大數學家傅立葉學習過一段時間1820年左右，納維德開始思考與流體相關的數學從1821年到1822年，他發現了著名的納維爾—斯托克斯方程
18世紀上半葉，瑞士數學家丹尼爾·伯努利用微積分描述了流體在多種力作用下的運動方程歐拉在伯努利的基礎上，構造了一組能精確描述無粘流體運動的方程組
1822年，納維德改進了歐拉方程，使其適用于具有一定粘度的流體納維爾的數學推導有缺陷但是他最后的等式是正確的幾年后，愛爾蘭數學家斯托克斯作出了正確的推導一開始，斯托克斯側重于用微積分來解釋流體的運動他發現了納維德20年前提出的公式
基于納維德和斯托克斯的工作，到19世紀末，數學家們即將發展出一套完整的流體運動理論只有一個問題有待解決沒有人能證明納維爾—斯托克斯方程是否有解關于流體運動的數學似乎極其困難
從離散到連續
當16世紀和17世紀初的數學家們試圖寫出描述行星運動的公式時，他們遇到了一個基本問題數學工具本質上是靜態的數字，點，線等對于計算和測量是極好的，但是它們本身不能描述運動為了研究連續運動的物體，數學家必須找到一種方法，將這些靜態工具應用于動態運動17世紀中葉，德國的牛頓和萊布尼茨自己發明了微積分，使數學向前邁進了一大步
牛頓和萊布尼茨認為連續運動是由一系列靜止形式組成的每個靜態形式都可以用現有的數學技巧來分析，但難點在于如何將所有的靜態形式結合起來要在數學上形成一個連續的運動，牛頓和萊布尼茨必須以無限的速度展示這些靜態形式，而每種形式只能持續無限短的時間微積分是由牛頓和萊布尼茨開發的一套技能，用于執行將無限形式按順序排列的工作
微分學的基本運算是一個叫做微分的過程微分的目的是獲得某些變量的變化率為了做到這一點，變量的值，位置或路徑必須由適當的公式給出然后對這個公式求導，產生另一個可以給出變化率的公式所以，微分就是把一個公式轉換成另一個公式的過程
在十八世紀，微積分被用來研究像行星這樣的固體物體的連續運動，或者連續幾何圖形的連續變化的斜率伯努利試圖將這種方法應用于流體的連續運動
對于牛頓和萊布尼茨來說，分析的連續運動是孤立的，離散的物體的連續運動可是，在流體的情況下，不僅運動是連續的，物質本身也是連續的
伯努利認為連續流體是由無限小的相互靠近的離散區域組成的，每個區域都可以由牛頓和萊布尼茨來處理另一種方法是將流體中的任意一個特定點作為一個物體，寫出描述其路徑的方程這就需要抓住兩種無窮小
把每個無窮小質點的運動看成一系列定格，這是用來研究單個物體連續運動的標準微積分方法運動被看作是由一系列靜態在時間上的排列而形成的序列
在一個點所走的路徑和另一個無限靠近它的點所走的路徑之間有一個無窮小的幾何變化。
棘手的問題是同時掌握這兩種無窮小——時間無窮小和幾何無窮小伯努利成年后的大部分時間1738年，在他的《流體動力學》一書中，他發表了他的結果關鍵思想是把解作為所謂的向量場簡單來說，向量場就是一個有三個自變量x，y，z的函數，它告訴你流體在任一點的流速和方向
流體動力學中有一個方程，表明當流體流過一個表面時，流體對表面施加的壓力伴隨著流速的增大而減小為什么這個結論值得一提因為伯努利方程奠定了現代航空理論的基礎，解釋了飛機為什么能在空中飛行
在伯努利工作的基礎上，歐拉建立了描述無摩擦流體在已知力作用下運動的方程，但他未能求解這些方程納維德和斯托克斯后來改進了歐拉方程，使之適用于粘性流體他們得到的方程叫做納維爾—斯托克斯方程
雖然這些方程在假設的二維無限薄平板膜流體情況下可以求解，但人們不知道在三維情況下是否有解請注意，問題的關鍵不在于這個方程的解是什么，而在于這個方程是否有解
先說流體運動的歐拉方程這個方程組描述了在所有方向上無限延伸的無摩擦流體的流動
我們假設流體中的每一點P =都受到一個時變力的作用。假設t時刻作用在p點上的力是，
p是時間T點p處的流體壓力..
流體在P點的運動可以通過給出它在三個坐標軸方向上的速度來描述設u_x是流體在點P沿X軸的速度，u_y是流體在點P沿Y軸的速度，u_z是沿Z軸的速度
我們假設這種流體是不可壓縮的，即當有一個力作用在它上面時，它可以向某個方向流動，但不能被壓縮或膨脹。這種特性由下面的等式表示，
假設我們知道t =0時的運動狀態此外，這些初始函數被假定為好函數
良好狀態是一個數學術語，但不影響對方程的理解而良好狀態的精確表述，則與納維爾—斯托克斯問題作為千年難題的表述有關所以想解決這個問題的人還是要知道它的準確說法
將牛頓定律應用于流體中的每一點P
力=質量×加速度
歐拉得到了下面的方程，通過將它們與上面的不可壓縮性方程相結合，描述了流體的運動:
這是流體運動的歐拉方程為了適用于粘性流體，納維爾—斯托克斯引入了一個粘性常數V，它是流體內摩擦的量度，并在方程的右邊增加了一個附加力——粘性力
在x方向，等式右邊增加的項是，
y和z方向是相同的。
這里，這個符號
表示二階偏導數，它是通過首先對x求導u_x，然后對x求導得到的結果，即
在Y和Z的情況下，它們的定義是相似的。
歐拉方程看起來很嚇人數學家也感到不知所措仔細觀察發現，歐拉方程在X，Y，Z三個方向差別不大，三個附加粘性項的加入也是基于相同的變化形式
19世紀，數學家發明了一種符號和方法，以簡單的方式處理定向運動這個想法是引入一種新的量，叫做矢量向量既有大小又有方向
這里，f和u是向量函數，符號
表示向量微積分的運算。
求解納維爾—斯托克斯方程的進展如此之小，以至于粘土促進會決定設立100萬美元的獎金，來詢問這個問題的任何變體。用最簡單的形式，如果你使力函數f_x，f_y，f_z都為零，你能找到函數p，u_x，u_y和u _
我想提一下，類似的零粘度問題也沒有解決。
如果納維爾—斯托克斯問題簡化為二維情況，這個方程可以求解但是它對解決三維情況沒有任何作用
完全的三維問題也可以用高度受限的方式解決給定各種初始條件，總能找到一個正數T，使得這個方程對于0≤t≤T一直可解一般來說，t這個數字太小，所以這個方案在現實中并不是特別有用t被稱為這個特定系統的爆發時間
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