發現非歐幾何的榮譽屬于兩個人:匈牙利人波爾約和俄國人羅巴切夫斯基他們各自獨立地對這個課題做了非常相似的研究特別是，兩者都在二維和三維的情況下描述了一個不同于歐幾里得的幾何羅巴切夫斯基的結果于1829年首次發表在一本鮮為人知的俄羅斯雜志上，隨后于1837年發表在法文版上，1840年發表在德文版上，最后于1855年發表在法文版上1831年，波爾約將他的論文作為附錄發表在他父親寫的兩卷本幾何書中
把他們的成就放在一起是最容易的兩者都以一種新穎的方式定義平行線如下:給定一點P和一條直線M，穿過P的直線有的與M相交，有的則不相交這兩個集合被兩條穿過P的直線隔開，這兩條直線與M不相交，但這兩條直線是從P到右邊任意接近M，一條到左邊任意接近M它們是下圖中的直線n’和n
直線N’和N將穿過P并與直線m相交或不相交的直線分開。
羅巴切夫斯基稱這兩條邊界平行于穿過點P的直線M..這個定義可以在他1840年寫的一本小冊子中找到實際上，兩個邊界之間的所有直線也都經過點P，不與直線m相交
在這個討論中，仍然可以定義從點P到直線m的垂線，左右兩條平行線與這條垂線成等角，稱為平行角如果這個角是直角，就得到歐幾里德幾何可是，如果它小于直角，就有可能產生新的幾何形狀因此，這個角的大小取決于從點P到直線m的垂直線的長度波爾約和羅巴切夫斯基懶得證明小于直角的平行角不會引起沖突相反，他們都是假設不會有矛盾，然后用很大的力，從垂直線的長度找到平行角的大小
他們都證明了給定一族平行線和其中一條線上的一個點，必有一條垂直于所有這些直線的曲線通過這個點。
垂直于一族平行線的曲線
在歐幾里得幾何中，這條曲線是一條直線，它垂直于族中所有的平行線，并通過這個點如果還是在歐氏幾何中，但是取一族通過公共點Q和另一個點P的直線，那么通過P并垂直于所有這些直線的曲線就是以Q為圓心，通過P的圓
垂直于歐幾里得平行線的曲線。
這些由波爾約和羅巴切夫斯基定義的曲線類似于上面兩幅歐幾里得圖畫:它們與所有這些平行線正交，但它們是彎曲的而不是直的波爾約稱這條曲線為L曲線，而羅巴切夫斯基稱之為極限圓這個術語更有幫助，一直沿用至今
垂直于通過一點的歐幾里得直線的曲線。
他們復雜的論證將他們引入了三維幾何在這里，羅巴切夫斯基的論證比波爾約的要清晰一點，而且兩人都明顯超越了高斯如果定義極限圓的圖形繞其中一條平行線旋轉，這些線就會成為三維空間中的一族平行線，而極限圓則會掃出一個杯形的曲面，波爾約稱之為F面，羅巴切夫斯基稱之為極限球他們都預示著一些值得注意的事情將會發生會從穿過極限球面的平面上切出一個圓，或者切出一個極限圓如果在極限球面上做一個以極限圓為邊的三角形，三個內角之和等于兩個直角換個角度來說，雖然包含極限球面的空間是三維版的情形L，但絕對是非歐的但如果限制極限球面，就會得到二維歐幾里得幾何
波爾約和羅巴切夫斯基也知道他們可以在他們的三維空間中制作球，并證明不管平行線的假設如何，球的幾何公式仍然有效羅巴切夫斯基選擇了用一個和他的平行線有關的非常巧妙的做法來證明球面上的一個三角形必定決定平面上的一個三角形，并且也是由這個平面三角形決定的，反過來，平面上的一個三角形也決定了球面上的一個三角形，也是由這個球面三角形決定的這意味著球面的幾何公式必須決定可用于極限球面的三角形公式當羅巴切夫斯基檢查它的細節時，他證明了極限球面上的三角形可以用雙曲三角學的公式來描述，波爾約在某種程度上做到了這一點
他們是高斯，波爾約和羅巴切夫斯基。
三角形的公式取決于球體的半徑同樣，雙曲三角形的公式必須依賴于一個實參數但是這個參數沒有明確的幾何解釋盡管有這個缺點，但是這些公式有一些性質可以幫助我們重新確認一些事情例如，當三角形的邊很小時，它們都非常接近平面幾何中眾所周知的公式，這有助于解釋為什么這些公式這么久都沒有被發現——它們在很小的空間區域內與歐幾里得幾何差別很小
在這種新的背景下，長度和面積的公式可以給出這些公式表明，三角形的面積與三角形的內角和兩個直角之差成正比特別是，羅巴切夫斯基覺得有一個很好的理由來接受這種新的幾何:這種可信的公式是存在的在他看來，所有的幾何都是關于度量的，每一個幾何定理都是用公式來表達這些度量之間的可靠聯系既然他的方法給出了這個公式，在他看來，就足以作為這種新幾何存在的充分理由
自從波爾約和羅巴切夫斯基提出了新穎的三維幾何，他們也提出了一個問題:哪種幾何是真實的是歐幾里得幾何，還是包含某個參數值的新幾何，可以通過實驗確定在這一點上，波爾約放棄了這個問題，但羅巴切夫斯基明確表示，這個問題可以通過測量星座的視差來解決在這里，他也沒有成功，因為這個實驗是出了名的細致
一般來說，波爾約和羅巴切夫斯基生前對他們思想的反應是輕蔑和敵視，他們自己也沒有預見到他們的發現最終會成功波爾約和他的父親把他們的工作交給了高斯但是高斯在1832年回信說，他不能贊揚這項工作因為贊美它就是贊美我自己，這是不夠的高斯還補充說，他在文章開頭給出了波爾約結果的一個更簡單的證明不過他說他很開心，因為超越他的是他老朋友的兒子波爾約勃然大怒，拒絕再次發表他的工作，從而剝奪了自己通過在數學期刊上發表來保證優先權的機會奇怪的是，沒有證據表明高斯事先知道這個年輕匈牙利人的工作細節很可能高斯看到了波爾約作品的開頭，知道它接下來會做什么
對現有證據更寬容的解釋是，在19世紀30年代，高斯已經認為物理空間可以用非歐幾何來描述，他當然知道如何用雙曲三角形來掌握2維非歐幾何但是三維的情況是由波爾約和羅巴切夫斯基首先知道的，而高斯是在閱讀了他們的研究之后才知道的
奧斯特羅格拉茨基
羅巴切夫斯基的情況比波爾約稍微好一點他最早的一篇文章由奧斯特羅格拉茨基保存，他是圣彼得堡的一位數學家，地位更高，而羅巴切夫斯基在另一個省喀山他發表在德國《純粹與應用數學雜志》上的文章可悲地引用了許多用俄語發表的文章，而這篇文章是從這些俄語文章改寫而來的他在1840年的一本小書只得到一篇書評，書評的愚蠢程度超乎一般羅巴切夫斯基把這本小書給了高斯，高斯覺得很棒，并安排羅巴切夫斯基入選哥廷根科學院可是，高斯的熱情到此為止，羅巴切夫斯基再也沒有得到高斯的支持
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